坐标系与参数方程知识点总结

 

       先进讲

 

一　平面直角坐标系

 

1．平面直角坐标系

 

(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．

 

(2)平面直角坐标系：

 

①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；

 

②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；

 

③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；

 

④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；

 

⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．

 

二　极坐标系

 

(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

 

(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．

 

 

2．极坐标

 

(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

 

(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．

 

若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．< span="">

 

3．极坐标与直角坐标的互化公式

 

如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．

 

三　简单曲线的极坐标方程

 

1．曲线的极坐标方程

 

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

 

2．圆的极坐标方程

 

(1)特殊情形如下表：

 

3．直线的极坐标方程

 

(1)特殊情形如下表：

 

四　柱坐标系与球坐标系简介

 

第二讲

 

一　曲线的参数方程

 

1．参数方程的概念

 

2．圆的参数方程

 

二　圆锥曲线的参数方程

 

三　直线的参数方程

 

四　渐开线与摆线